겨울맞이 적분 챌린지

문제

네이버 블로그 (Challenge) Yang의 이상한 적분

다음 부정적분을 구하시오.
$$\int \frac{x}{1+e^x}\exp \left(\frac{x}{1+e^x}\right)dx$$

발단

(발행일 기준) 그제 점심쯤 양준혁 군의 인스타그램(@positive_6hyeok) 스토리를 봤다.

매서운 한파 때문에 칩거 중이었는데, 하루를 시작하기 좋은 문제인 것 같아 바로 풀기 시작했다.

풀이

$e^x=t$로 치환하자. $e^{x}dx=dt$이므로

$$\begin{array}{rl}\int \frac{x}{1+e^x}\exp \left(\frac{x}{1+e^x}\right)dx& =\int \frac{\ln t}{1+t}\cdot t^{\frac{1}{1+t}}\frac{dt}{t}\\ & =\int \frac{\ln t}{1+t}\cdot t^{-\frac{t}{1+t}}dt\\ & =\int \frac{\ln t}{1+t}\exp (-\frac{t\ln t}{1+t})dt\end{array}$$

이다. ${\displaystyle f(t)=\exp (-{\displaystyle \frac{t\ln t}{1+t}})}$로 두면 도함수는

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(t)& =-f(t)\cdot \frac{(1+\ln t)(1+t)-t\ln t}{(1+t{)}^2}\\ & =-f(t)[\frac{1}{1+t}+\frac{\ln t}{(1+t{)}^2}]\end{array}$$

이므로

$$(1+t)f^{\prime }(t)+f(t)=\frac{d}{dt}[(1+t)f(t)]=-\frac{\ln t}{1+t}f(t)$$

이다. 따라서 구하려는 부정적분은

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\ln t}{1+t}\exp (-\frac{t\ln t}{1+t})dt& =-(1+t)f(t)+C\\ & =-(1+e^x)\exp (-\frac{x{e}^x}{1+e^x})+C\\ & =\boxed{{\displaystyle -(1+e^{-x})\exp \left(\frac{x}{1+e^x}\right)+C}}\end{array}$$

이다. (단, $C$는 적분상수)

여담

자명해 보이지 않지만, 피적분함수는 기함수이다.

$$\begin{array}{rl}\frac{-x}{1+e^{-x}}\exp \left(\frac{-x}{1+e^{-x}}\right)& =-\frac{x{e}^x}{1+e^x}\exp \left(\frac{-x{e}^x}{1+e^x}\right)\\ & =-\frac{x}{1+e^x}\exp (\frac{-x{e}^x}{1+e^x}+x)\\ & =-\frac{x}{1+e^x}\exp \left(\frac{x}{1+e^x}\right)\end{array}$$

물론 부정적분을 구하는 데에는 별 도움이 되지 않는다.

감사말

출제 배경과 함께 풀이가 출제자의 블로그에 소개됐습니다. 최초 정답자로 과분한 상금을 받았는데, 챌린지를 마련한 준혁이에게 깊은 감사의 마음을 전합니다.