방구석 사색

Problem 1$\ds \int \sqrt{(\sin(20x) + 3 \sin(21x) + \sin(22x))^2 + (\cos(20x) + 3 \cos(21x) + \cos(22x))^2} \, dx$더보기피적분함수를 정리하면\begin{align*}& (\sin(20x) + 3 \sin(21x) + \sin(22x))^2 + (\cos(20x) + 3 \cos(21x) + \cos(22x))^2 \\& = 1 + 9 + 1 + 2(3 \cos(x) + 3 \cos(x) + \cos(2x)) \\& = 11 + 2 \left( 6 \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1 \right) \\& = \left( 2 \cos(x) + 3 \right)^2\end{align*}이므로\[\int \abs..

Problem 1$\ds \int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x + \cos x)^2} \, dx$풀이 1더보기$u = \tan x$로 치환하자. $du = \sec^2 x \, dx$이고,\[(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin(2x) = 1 + \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}\]이다. 오일러의 반사 공식에 의해 $z \notin \mathbb{Z}$에 대하여 $\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \pi \csc(\pi z)$가 성립한다. 따라서\begin{align*}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x + \cos x)^2} ..

TiebreakersProblem 1$\ds \int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4 + 1}}$더보기적분을 변형하면\[\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4 + 1}}= \int \frac{dx}{x \sqrt[4]{1 + \dfrac{1}{x^4}}}= \int \frac{\dfrac{1}{x^5}}{\dfrac{1}{x^4} \sqrt[4]{1 + \dfrac{1}{x^4}}} \, dx\]이다. $1 + x^{-4} = u^4$으로 치환하자. $-x^{-5} \, dx = u^3 \, du$이므로\begin{align*}\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4 + 1}}& = -\int \frac{u^3}{(u^4 - 1) u} \, du \\& = -\frac{1}{..

2025년 결승전 문제를 해설하고 한동안 적분에 꽂혀서 홈페이지에 공개된 나머지 결승전 문제를 풀기 시작했다. 이제서야 풀이를 마무리하여 앞으로 나흘에 걸쳐 공개할 예정이다.작년 결승은 두 진출자가 모두 마지막 정규 문제만 맞혀 연장전으로 이어졌다. 하지만 둘 다 연장전 문제를 하나도 풀지 못해 결국 쉬운 문제를 1분 안에 누가 더 빨리 푸느냐로 승부를 가르는 라이트닝 라운드(Lightning Round)에 이르렀다. 따라서 해설을 두 편으로 나누어 1편에서는 정규 문제를, 2편에서는 나머지 문제를 다루겠다.Problem 1$\ds \int \frac{e^{x/2} \cos x}{\sqrt[3]{3\cos x + 4\sin x}} \, dx$더보기$\cos x = \dfrac{3}{25} (3\cos x..

문제KAIST Math Problem of the Week 2020-10 An inequality with sin and log$x > -1$에 대하여 부등식\[\frac{x + \sin x}{2} \geq \log(1+x)\]를 증명하시오.지금까지 풀리지 않은 POW 문제를 모아 놓고 보니 이 문제가 그나마 쉬운 편이었다. 미해결 문제도 (풀 수만 있다면) 가끔 해설을 올릴 생각이다. 불완전한 풀이가 있다는데 공개되지 않아서 직접 풀이를 작성해 보았다.관찰빨간 곡선과 파란 곡선은 각각 $\dfrac{x + \sin x}{2}$와 $\log(1+x)$의 그래프이다. 두 곡선이 원점에서 접하고 $x = 4$ 부근에서 다시 만나는 것처럼 보이지만 확대해서 가까이 보면 0.01 정도 차이가 있다. 이제 보이는..