2022 MIT Integration Bee Finals 해설

Problem 1

$\ds \int \sqrt{(\sin(20x) + 3 \sin(21x) + \sin(22x))^2 + (\cos(20x) + 3 \cos(21x) + \cos(22x))^2} \, dx$

피적분함수를 정리하면

\begin{align*}
& (\sin(20x) + 3 \sin(21x) + \sin(22x))^2 + (\cos(20x) + 3 \cos(21x) + \cos(22x))^2 \\
& = 1 + 9 + 1 + 2(3 \cos(x) + 3 \cos(x) + \cos(2x)) \\
& = 11 + 2 \left( 6 \cos(x) + 2 \cos^2(x) - 1 \right) \\
& = \left( 2 \cos(x) + 3 \right)^2
\end{align*}

이므로

\[\int \abs{2 \cos(x) + 3} \, dx
= \int (2 \cos(x) + 3) \, dx
= \boxed{2 \sin(x) + 3x + C}\]

이다.

Problem 2

$\ds \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-2x} \sin(3x)}{x} \, dx$

$a > 0$에 대하여 함수

\[I(b) = \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx\]

를 정의하자. $I(0) = 0$이다. 라이프니츠 적분 규칙에 의하여

\begin{align*}
I'(b) & = \frac{d}{db} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx
= \int_{0}^{\infty} \frac{d}{db} \frac{e^{-ax} \sin(bx)}{x} \, dx
= \int_{0}^{\infty} e^{-ax} \cos(bx) \, dx \\
& = \left[ e^{-ax} \cdot \frac{\sin(bx)}{b} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left( -a e^{-ax} \right) \cdot \frac{\sin(bx)}{b} \, dx \\
& = \frac{a}{b} \left( \left[ e^{-ax} \cdot \frac{\cos(bx)}{-b} \right]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty} \left( -a e^{-ax} \right) \cdot \frac{\cos(bx)}{-b} \, dx \right) \\
& = \frac{a}{b} \left( \frac{1}{b} - \frac{a}{b} I'(b) \right)
\end{align*}

이므로

\[I(b) - I(0) = \int_{0}^{b} I'(t) \, dt = \int_{0}^{b} \frac{a}{a^2 + t^2} \, dt = \inv{\tan} \frac{b}{a}\]

이다. 따라서

\[\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-2x} \sin(3x)}{x} = \boxed{\inv{\tan} \frac{3}{2}}\]

이다.

Problem 3

$\ds \int_{0}^{2\pi} \cos(2022x) \frac{\sin(10050x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(10251x)}{\sin(51x)} \, dx$

$\sin((2k+1)x) - \sin((2k-1)x) = 2 \cos(2kx) \sin(x)$이므로

\begin{gather*}
\sin((2n+1)x) - \sin(x) = \sum_{k=1}^{n} [\sin((2k+1)x) - \sin((2k-1)x)] = 2 \sin(x) \sum_{k=1}^{n} \cos(2kx), \\
\therefore \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin(x)} = 1 + 2 \sum_{k=1}^{n} \cos(2kx) = \sum_{k=-n}^{n} \cos(2kx)
\end{gather*}

이다. 따라서

\begin{align*}
& \cos(2022x) \frac{\sin(10050x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(10251x)}{\sin(51x)}
= \cos(2022x) \frac{\sin(201 \cdot 50x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(201 \cdot 51x)}{\sin(51x)} \\
& = \sum_{j=-100}^{100} \sum_{k=-100}^{100} \cos(2022x) \cos(100jx) \cos(102kx) \\
& = \frac{1}{2} \sum_{j=-100}^{100} \sum_{k=-100}^{100} \cos(2022x) [\cos((100j + 102k)x) + \cos((100j - 102k)x)]
\end{align*}

이다.

\[\int_{0}^{2\pi} \cos(ax) \cos(bx) \, dx
= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} [\cos((a+b)x) + \cos((a-b)x)]
= \begin{cases}
\pi & \text{if } \abs{a} = \abs{b}, \\
0 & \text{otherwise}
\end{cases}\]

이므로 $\abs{j} \leq 100$과 $\abs{k} \leq 100$을 만족하는 $100j \pm 102k = \pm 2022 \iff 50j \pm 51k = \pm 1011$의 정수해의 개수를 세자. $50j + 51k = 1011 \iff (j, k) = (51l + 9, 11 - 50l)$로부터 세 근 $(-42, 61)$, $(9, 11)$, $(60, -39)$가 나온다. $(j, k)$가 근이면 $(-j, k)$, $(j, -k)$, $(-j, -k)$ 또한 근이므로 근은 총 12개이다. 따라서

\[\int_{0}^{2\pi} \cos(2022x) \frac{\sin(10050x)}{\sin(50x)} \frac{\sin(10251x)}{\sin(51x)} \, dx
= \frac{1}{2} \cdot 12\pi = \boxed{6\pi}\]

이다.

Problem 4

$\ds \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} (1-x)^{\frac{2}{3}} \, dx$

오일러의 반사 공식에 의해 $z \notin \mathbb{Z}$에 대하여 $\Gamma(z) \Gamma(1-z) = \pi \csc(\pi z)$가 성립한다. 따라서

\begin{align*}
\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} (1-x)^{\frac{2}{3}} \, dx
& = \mathrm{B}(4/3, 5/3)
= \frac{\Gamma(4/3) \Gamma(5/3)}{\Gamma(3)} \\
& = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{\Gamma(1/3) \Gamma(2/3)}{2}
= \boxed{\frac{2\pi}{9\sqrt{3}}}
\end{align*}

이다.

Problem 5

$\ds \floor{\log_{10} \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx}$

$x = 2022 + u$로 치환하면 $x^3 = 2022^3 + 3 \cdot 2022^2 \cdot u + 3 \cdot 2022 \cdot u^2 + u^3$이다. $x \geq 2022 \iff u \geq 0$에 대하여

\[10^{-x^3} = 10^{-\left( 2022^3 + 3 \cdot 2022^2 \cdot u \right)} \cdot 10^{-\left( 3 \cdot 2022 \cdot u^2 + u^3 \right)}
\leq 10^{-\left( 2022^3 + 3 \cdot 2022^2 \cdot u \right)}\]

이다. 따라서

\[\int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx
\leq \int_{0}^{\infty} 10^{-\left( 2022^3 + 3 \cdot 2022^2 \cdot u \right)} \, du
= \frac{10^{-2022^3}}{3 \cdot 2022^2 \log 10}\]

이다. 함수 $f(x) = 10^{-x^3}$를 정의하면 $f'(x) = -3x^2 \cdot 10^{-x^3} \log 10$이고, $f''(x) = 3x \cdot 10^{-x^3} \log 10 \left( 3x^3 \log 10 - 2 \right)$이다. $x \geq 2022$에 대하여 $f$가 볼록하므로

\begin{align*}
\int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx
& \geq \int_{2022}^{\infty} \max \{f'(2022) (x-2022) + f(2022), 0\} \, dx \\
& = \int_{2022}^{2022 - \frac{f(2022)}{f'(2022)}} [f'(2022) (x-2022) + f(2022)] \, dx \\
& = \frac{f'(2022)}{2} \left( -\frac{f(2022)}{f'(2022)} \right)^2 - f(2022) \cdot \frac{f(2022)}{f'(2022)} \\
& = -\frac{f(2022)^2}{2 f'(2022)} = \frac{10^{-2022^3}}{6 \cdot 2022^2 \log 10}
\end{align*}

이다.

\begin{align*}
\log_{10} \left( 3 \cdot 2022^2 \log 10 \right)
& = \log_{10} 12 + 2 \log_{10} 1011 + \log_{10} (\log 10) \approx 7.45, \\
\log_{10} \left( 6 \cdot 2022^2 \log 10 \right)
& = \log_{10} 12 + 2 \log_{10} 1011 + \log_{10} (2\log 10) \approx 7.75
\end{align*}

이므로

\[\floor{\log_{10} \int_{2022}^{\infty} 10^{-x^3} \, dx}
= \boxed{-2022^3 - 8}\]

이다.