방구석 사색

Problem 1${\displaystyle \int \sqrt{(\sin (20x)+3\sin (21x)+\sin (22x){)}^2+(\cos (20x)+3\cos (21x)+\cos (22x){)}^2}dx}$더보기피적분함수를 정리하면$$\begin{array}{rl}& (\sin (20x)+3\sin (21x)+\sin (22x){)}^2+(\cos (20x)+3\cos (21x)+\cos (22x){)}^2\\ & =1+9+1+2(3\cos (x)+3\cos (x)+\cos (2x))\\ & =11+2(6\cos (x)+2{\cos }^2(x)-1)\\ & ={(2\cos (x)+3)}^2\end{array}$$이므로\[\int \abs..

Problem 1${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x+\cos x{)}^2}dx}$풀이 1더보기$u=\tan x$로 치환하자. $du={\sec }^{2}xdx$이고,$$(\sin x+\cos x{)}^2=1+\sin (2x)=1+\frac{2\tan x}{1+{\tan }^{2}x}$$이다. 오일러의 반사 공식에 의해 $z\notin \mathbb{Z}$에 대하여 $\mathrm{\Gamma }(z)\mathrm{\Gamma }(1-z)=\pi \csc (\pi z)$가 성립한다. 따라서\begin{align*}\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x + \cos x)^2} ..

TiebreakersProblem 1${\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4+1}}}$더보기적분을 변형하면$$\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4+1}}=\int \frac{dx}{x\sqrt[4]{1+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}}}=\int \frac{{\displaystyle \frac{1}{x^5}}}{{\displaystyle \frac{1}{x^4}}\sqrt[4]{1+{\displaystyle \frac{1}{x^4}}}}dx$$이다. $1+x^{-4}=u^4$으로 치환하자. $-x^{-5}dx=u^{3}du$이므로\begin{align*}\int \frac{dx}{\sqrt[4]{x^4 + 1}}& = -\int \frac{u^3}{(u^4 - 1) u} \, du \& = -\frac{1}{..

2025년 결승전 문제를 해설하고 한동안 적분에 꽂혀서 홈페이지에 공개된 나머지 결승전 문제를 풀기 시작했다. 이제서야 풀이를 마무리하여 앞으로 나흘에 걸쳐 공개할 예정이다.작년 결승은 두 진출자가 모두 마지막 정규 문제만 맞혀 연장전으로 이어졌다. 하지만 둘 다 연장전 문제를 하나도 풀지 못해 결국 쉬운 문제를 1분 안에 누가 더 빨리 푸느냐로 승부를 가르는 라이트닝 라운드(Lightning Round)에 이르렀다. 따라서 해설을 두 편으로 나누어 1편에서는 정규 문제를, 2편에서는 나머지 문제를 다루겠다.Problem 1${\displaystyle \int \frac{e^{x/2}\cos x}{\sqrt[3]{3\cos x+4\sin x}}dx}$더보기$\cos x = \dfrac{3}{25} (3\cos x..

문제KAIST Math Problem of the Week 2020-10 An inequality with sin and log$x>-1$에 대하여 부등식$$\frac{x+\sin x}{2}\ge \log (1+x)$$를 증명하시오.지금까지 풀리지 않은 POW 문제를 모아 놓고 보니 이 문제가 그나마 쉬운 편이었다. 미해결 문제도 (풀 수만 있다면) 가끔 해설을 올릴 생각이다. 불완전한 풀이가 있다는데 공개되지 않아서 직접 풀이를 작성해 보았다.관찰빨간 곡선과 파란 곡선은 각각 ${\displaystyle \frac{x+\sin x}{2}}$와 $\log (1+x)$의 그래프이다. 두 곡선이 원점에서 접하고 $x=4$ 부근에서 다시 만나는 것처럼 보이지만 확대해서 가까이 보면 0.01 정도 차이가 있다. 이제 보이는..