오목함수열의 극한

문제

KAIST Math Problem of the Week

• 2024-06 Limit of concave functions
• 2024-13 Concave functions (revisited)

원래 문제를 일반화하면 다음과 같다.

모든 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 오목함수 $f_n$과 함수 $g$가 모두 $x = a$에서 미분가능하고, $a$을 포함하는 적당한 구간에서 다음 조건

• $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \geq g(x)$
• $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n(a) = g(a)$

을 만족할 때, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n'(a)$을 구하시오.

Acknowledgement

처음 문제가 공개됐을 때는 그 "적당한 구간"이 $\mathbb{R}$이었다가, 닷새가 지나 $[-1, 1]$로 바뀌며 풀이 제출 기한이 미뤄졌다. 결국 어떤 구간에서도 원래 문제에서 제시한 함수 $g(x) = 2024x^5 + 3$에 대해 가정이 성립하지 않음을 인정하고 문제가 취소됐다. 오류는 풀이를 소개하고 설명하겠다.

나는 문제를 일반화하여 풀고 마지막에 원래 문제의 함수 $g$를 대입한 풀이를 제출했다. 첫 풀이를 내고 오타가 있었다길래 문제의 오타만 수정한 것으로 두 번... 사실 $g$가 오목하지 않아 꺼림칙한 순간이 분명 있었지만, 대수롭지 않게 여겼던 것 같다. 기계적으로 문제를 풀기에만 급급했던 모습을 반성해야겠다. 역시 나 자신이 가장 속이기 쉬운 사람인 법이다.

2024. 09. 27. Update: POW 2024-13로 부활했다!

풀이

POW 2024-13 best solution을 참고하기 바란다.

원래 문제의 오류

가정에 따른 결론이 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} f_n'(0) = g'(0)$이므로 $g(x) \leq g(0) + g'(0)x$이다. 다시 말해 함수 $g$의 그래프는 $x = 0$에서의 접선 아래에 있어야 한다. $f_n$이 오목하면 $\displaystyle \liminf_{n \to \infty} f_n$도 오목하므로 적당히 오목한 함수를 주거나 굳이 특정하지 않는 편이 오히려 나았을 듯하다. 이번 풀이 작성에 공을 좀 들였는데 문제 오류로 인한 취소라니, 쓸쓸하고 허무하다.