알고 보면 쉬운 기하 문제

문제

세 실수 $x$, $y$, $z$가 $\cos x + \cos y + \cos z = 1$과 $\sin x + \sin y + \sin z = 1$을 만족한다. $\sin x \geq 0$일 때, $\cos x$의 최솟값을 구하시오.

불현듯 생각이 나서 고등학교 3학년 수학 경시대회 문제를 복기한 문서를 열어 봤다. 다른 문제는 해설까지 완벽하게 복원했는데, 오직 이 문제만 풀이가 없는 채로 남겨졌다. 출제하신 선생님께서 풀이를 분명 가르쳐 주셨는데, 그때 이해를 잘 못했는지 기억해 내지 못한 듯하다.

순수 해석(解析)적 접근으로는 해결의 실마리를 찾기 어려운 문제이지만, 조건을 세 단위벡터의 합으로 보면 길이 보인다. 기하적 아이디어를 떠올리기만 하면 나머지는 술술 풀리는 흥미로운 문제라 소개한다.

풀이

$(\cos x, \sin x)$처럼 세 단위벡터를 생각하자. 두 조건을 다음 식

\[(\cos x, \sin x) + (\cos y, \sin y) + (\cos z, \sin z) = (1, 1)\]

하나로 다시 쓸 수 있다. 두 단위벡터의 합은 크기가 2 이하이므로

\begin{align*}
2^2 & \geq \norm{(\cos y, \sin y) + (\cos z, \sin z)}^2 \\
& = \norm{(1 - \cos x, 1 - \sin x)}^2 \\
& = 3 - 2(\cos x + \sin x)
\end{align*}

로부터

\[\cos x + \sin x = \sqrt{2} \cos \left( x - \dfrac{\pi}{4} \right) \geq -\dfrac{1}{2}\]

이다. $\sin x \geq 0$이므로 구간 $[0, \pi]$만 고려해도 충분하다. $\cos x$는 이 구간에서 감소하므로 위 부등식을 만족하는 $x$의 최댓값에서 함숫값을 계산하면 된다. 따라서 구하려는 $\cos x$의 최솟값은

\begin{align*}
\cos x & = \cos \left( x - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \right) \\
& = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) - \sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right) \\
& \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \left( -\frac{1}{2\sqrt{2}} - \sqrt{1 - \left( -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2} \right) \\
& = \boxed{-\frac{1 + \sqrt{7}}{4}}
\end{align*}

이다.