거의 같은 두 수열

문제

KAIST Math Problem of the Week 2022-08 two sequences

자연수 $n \geq 2$에 대하여 두 수열 $a_n = \ceil{n/\pi}$과 $b_n = \ceil{\csc(\pi/n)}$를 정의하자. 모든 $n \neq 3$에 대하여 $a_n = b_n$인가?

여담

처음 문제를 접한 곳은 POW이지만, 고찰을 위해 조사하던 중 2017년 12월에 발간된 American Mathematical Monthly 제124권 제12호에서 12006번 문제로 다시 만났다. 모범(?) 답안으로 보이는 문서도 쉽게 찾을 수 있었는데, 사족을 달면 2.2절에서 $x > 0 \implies \sin x < x \implies \csc x > 1/x$라고 하면 될 것을 굳이 테일러 급수로 비교해야 했을까. 아무튼 전반적인 서술이 그다지 마음에 들지 않아서 내 사고 과정을 그대로 이 글에 담았다.

관찰

처음 든 생각은 왠지 두 수열이 같으면 안 될 것 같은(?) 느낌이었다. 몇 가지 관찰하면

• $x > 0$이면 $1/x < \csc x$이므로 $a_n \leq b_n$이다.
• $0 < x < 1/2$이면 $\epsilon(x) = \csc x - 1/x < 0.1$이므로 $b_n - a_n \in \{0, 1\}$이다.
• $\displaystyle \lim_{x \to 0+} \epsilon(x) = 0$이다.

풀이

이제 반례를 찾는 일만 남았다. 브루트 포스 방식의 파이썬 코드를 짰고, 정밀도 문제 때문에 decimal 라이브러리를 동원했다. ‘언젠가는 결과가 나오겠지’ 하는 심정으로 실행시켰는데 몇 시간이 지나 여덟 자릿수가 되도록 못 찾는 것이었다! 다행히 $a_{80143857} = 25510582 < b_{80143857} = 25510583$임을 도출할 수 있었다.

조금 더 엄밀한 서술은 best solution을 참고하자.

고찰

두 수열이 어긋날 때, 과연 $n/a_n$은 어떤 의미가 있을까? 80,143,857을 구글에 검색하면 $\pi$의 근사분수(convergent) 중 하나의 분자임을 알 수 있다. (OEIS A002485 참고) 근사분수는 나중에 다루겠다.

그렇다면 $a_n < b_n$인 $n/a_n$은 $\pi$의 근사분수일까?

\[a_n < b_n \iff \frac{n}{\pi} < \ceil{\frac{n}{\pi}} < \csc \frac{\pi}{n} \implies n \sin \frac{\pi}{n} < \frac{n}{\ceil{n/\pi}}\]

이므로

\[\pi - \frac{n}{\ceil{n/\pi}} < \pi - n \sin \frac{\pi}{n} = \pi - n \left( \frac{\pi}{n} - \frac{\pi^3}{6n^3} + \cdots \right) < \frac{\pi^3}{6n^2} = \frac{\pi}{6} \cdot \frac{\ceil{n/\pi}^2}{(n/\pi)^2} \cdot \frac{1}{\ceil{n/\pi}^2}\]

이다. 어떤 실수에 대하여 특정한 오차 범위 안의 분수는 그 실수의 근사분수임을 보장하는 정리가 있는데, 방금 보인 것은 그 조건을 만족하지 않는다. $\pi$의 근사분수와 관련지을 수 없지만, 나름 꽤 괜찮은 근사라고 할 수 있겠다.

마무리

근사분수라는 탐구 주제를 남기지만, 뚜렷한 관계를 찾기 어렵다는 점에서 뭔가 뒷맛이 개운하지 않은 문제이다. $a_n < b_n$인 $n$이 무한히 많이 있을지, 근사분수가 아닌 반례가 있을지는 내가 미처 풀지 못하는 수많은 문제 중 하나로 남겨야 할 것 같다.