Douglass 기초 해석학 해설집

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서문

본 문서는 Steven A. Douglass 저 『Introduction to Mathematical Analysis』(이하 "IMA")의 연습 문제 해설집입니다. IMA는 KAIST 수리과학과 기초 해석학 과목인 MAS241 해석학 I 및 MAS242 해석학Ⅱ 수업에서 교재로 사용했었습니다. 이 해설집은 제가 IMA로 기초 해석학을 공부하면서 풀었던 일부 연습 문제의 풀이를 모은 것입니다.

모든 풀이는 저자가 내린 정의를 바탕으로 보조 정리와 따름 정리를 포함한 모든 정리 및 본문에서 다룬 예시를 증명 없이 인용할 수 있을 때를 가정하고 작성했습니다. 특히 2장에서 배우는 기초 위상수학은 개념마다 수많은 동치 명제가 있으므로 출처가 다른 문제를 푸실 때 유의하시기를 바랍니다. 다른 연습 문제에서 소개한 명제를 인용할 경우 증명은 해당 문제의 풀이를 참고하세요.

이 해설집은 공인되지 않았습니다. 여러 번 퇴고하고 검수했지만, 여전히 논리에 오류가 있거나 계산을 실수했을 수 있습니다. 제 메일로 이 해설집에 기여하실 수 있습니다. 모든 제보와 제안을 환영합니다.

풀이가 있는 연습 문제

1. The Structure of the Real Numbers: Sequences
   1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.12, 1.14, 1.15, 1.16, 1.19, 1.20, 1.23, 1.26, 1.27, 1.29, 1.30, 1.35, 1.39, 1.41, 1.47, 1.50, 1.59, 1.65, 1.66, 1.67, 1.68, 1.69, 1.70, 1.71, 1.73, 1.75, 1.78, 1.79, 1.82, 1.83, 1.84, 1.85, 1.91, 1.93, 1.94, 1.95, 1.96, 1.99, 1.108, 1.109, 1.110
2. Euclidean Spaces
   2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.7, 2.8, 2.12, 2.15, 2.17, 2.19, 2.20, 2.21, 2.24, 2.25, 2.31, 2.32, 2.33, 2.34, 2.35, 2.36, 2.37, 2.38, 2.41, 2.42, 2.44, 2.45, 2.46, 2.47, 2.48, 2.49, 2.50, 2.51, 2.53, 2.55, 2.58, 2.61, 2.68, 2.69, 2.72, 2.73, 2.74, 2.75
3. Continuity
   3.4, 3.12, 3.13, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, 3.20, 3.21, 3.23, 3.26, 3.28, 3.31, 3.32, 3.33, 3.37, 3.38, 3.39, 3.40, 3.41, 3.42, 3.47, 3.59, 3.60
4. Differentiation
   4.2, 4.6, 4.7, 4.13, 4.14, 4.15, 4.17, 4.20, 4.24, 4.25, 4.26, 4.27, 4.28, 4.30, 4.32, 4.33, 4.34, 4.46, 4.47, 4.50, 4.51, 4.52, 4.53, 4.58, 4.68, 4.69, 4.70
5. Functions of Bounded Variation
   5.3, 5.10, 5.11, 5.12
6. The Riemann Integral
   6.1, 6.2, 6.7, 6.8, 6.9, 6.12, 6.14, 6.21, 6.23, 6.29, 6.33, 6.41, 6.59, 6.63, 6.71, 6.96
7. The Riemann-Stieltjes Integral
   7.22
8. Differential Calculus in $\mathbb{R}^n$
   8.2, 8.13, 8.16, 8.47, 8.49
9. Vector-Valued Functions
   9.12
10. Multiple Integrals
    10.18
11. Infinite Series
    11.10, 11.19, 11.26
12. Series of Functions
    12.6, 12.16