방구석 사색

문제KAIST Math Problem of the Week 2020-10 An inequality with sin and log$x > -1$에 대하여 부등식\[\frac{x + \sin x}{2} \geq \log(1+x)\]를 증명하시오.지금까지 풀리지 않은 POW 문제를 모아 놓고 보니 이 문제가 그나마 쉬운 편이었다. 미해결 문제도 (풀 수만 있다면) 가끔 해설을 올릴 생각이다. 불완전한 풀이가 있다는데 공개되지 않아서 직접 풀이를 작성해 보았다.관찰빨간 곡선과 파란 곡선은 각각 $\dfrac{x + \sin x}{2}$와 $\log(1+x)$의 그래프이다. 두 곡선이 원점에서 접하고 $x = 4$ 부근에서 다시 만나는 것처럼 보이지만 확대해서 가까이 보면 0.01 정도 차이가 있다. 이제 보이는..

종강하고 쓰는 첫 글입니다. 능력보다 욕심이 많은 까닭에 학기 중에는 글 쓰기로 마음을 먹기부터가 참 어려운 듯합니다. 잠깐 쉬었다가 겨울학기에는 몰입캠프에 참가해서 또 한동안 바쁠 예정입니다.이번 학기 POW는 총 11문제였습니다. 비교적 쉬운 문제가 많았고 두 번이나 best solution으로 선정돼서 모든 문제를 풀어 우수상 이상을 노려볼 만했는데(?!), 마지막 문제로 대수적 위상수학 주제가 나오는 바람에 그만 좌절하고 말았습니다. 그래도 나름 개인 최고 기록을 세웠고, 다른 과제에 치여 사는데도 어떻게든 풀어내려고 노력한 스스로를 격려해 주고 싶습니다. 지금까지 풀었던 POW 문제 중 아마 가장 긴 시간을 들인 풀이를 기념으로 남기고자 합니다.문제KAIST Math Problem of the ..

문제KAIST Math Problem of the Week2024-06 Limit of concave functions2024-13 Concave functions (revisited)원래 문제를 일반화하면 다음과 같다.모든 $n \in \mathbb{N}$에 대하여 오목함수 $f_n$과 함수 $g$가 모두 $x = a$에서 미분가능하고, $a$을 포함하는 적당한 구간에서 다음 조건$\ds \liminf_{n \to \infty} f_n(x) \geq g(x)$$\ds \lim_{n \to \infty} f_n(a) = g(a)$을 만족할 때, $\ds \lim_{n \to \infty} f_n'(a)$을 구하시오.여담처음 문제가 공개됐을 때는 그 "적당한 구간"이 $\mathbb{R}$이었다가, 닷새가..

카테고리 이름처럼 이곳에서는 해석학 이야기를 할 것이다. 첫 글 주제는 해석학 과목 후기 중 하나에서 영감을 받았다.Mr. Douglass기초 해석학 강의 교재로 널리 쓰이는 "Baby Rudin", PMA 대신 우리 학교(일부 교수님 수업)에서는 Steven A. Douglass 저 Introduction to Mathematical Analysis("IMA")를 주로 썼다. 나도 이 책을 교재로 쓰는 수업을 들었는데 여러모로 아쉬운 점이 많은 책이다. 심지어 IMA를 신랄하게 비판하는 후기도 있는데, 나도 공감하는 단점을 몇 가지 적어 보겠다.Problem부적절한 정의함수의 극한을 정의역의 폐포(closure)에 대해 정의함 (Definition 3.1.1)주류를 따르지 않는 표기법빠진 근방(dele..