문제세 실수 $x$, $y$, $z$가 $\cos x + \cos y + \cos z = 1$과 $\sin x + \sin y + \sin z = 1$을 만족한다. $\sin x \geq 0$일 때, $\cos x$의 최솟값을 구하시오.불현듯 생각이 나서 고등학교 3학년 수학 경시대회 문제를 복기한 문서를 열어 봤다. 다른 문제는 해설까지 완벽하게 복원했는데, 오직 이 문제만 풀이가 없는 채로 남겨졌다. 출제하신 선생님께서 풀이를 분명 가르쳐 주셨는데, 그때 이해를 잘 못했는지 기억해 내지 못한 듯하다.순수 해석(解析)적 접근으로는 해결의 실마리를 찾기 어려운 문제이지만, 조건을 세 단위벡터의 합으로 보면 길이 보인다. 기하적 아이디어를 떠올리기만 하면 나머지는 술술 풀리는 흥미로운 문제라 소개한다.풀이..
서문본 문서는 Gareth James, Daniela Witten, Trevor Hastie, Robert Tibshirani 저 『An Introduction to Statistical Learning with Applications in R』 제2판의 연습 문제 해설집입니다.모든 풀이는 저자가 내린 정의를 바탕으로 보조 정리와 따름 정리를 포함한 모든 정리 및 본문에서 다룬 예시를 증명 없이 인용할 수 있을 때를 가정하고 작성했습니다. 다른 연습 문제에서 소개한 명제를 인용할 경우 증명은 해당 문제의 풀이를 참고하세요.이 해설집은 공인되지 않았습니다. 여러 번 퇴고하고 검수했지만, 여전히 논리에 오류가 있거나 계산을 실수했을 수 있습니다. 제 메일로 이 해설집에 기여하실 수 있습니다. 모든 제보와 제..
기왕 적분 카테고리를 따로 만든 김에 예전에 기록해 두었던 도전해 볼 만한 적분을 소개한다. 본문에서 $C$(아래 첨자가 있는 것을 포함한다)는 물론 적분상수이다.기본 적분 공식$\ds \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx$$x = \tan t$로 치환하면\[\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{1}{\sec^2 t} \sec^2 t \, dt = t + C = \boxed{\inv{\tan} x + C}\]이다.$\ds \int \frac{1}{ax^2 + bx + c} \, dx \quad \left( b^2 - 4ac $b^2 - 4ac \[\int \frac{1}{ax^2 + bx + c} \, dx = \frac{1}{a} \int \frac{..
소개겨울맞이 적분 챌린지를 풀면서 모처럼 흥미로운 적분을 탐구하기 시작했다. 세계 (특히 미국) 유수의 대학에서는 해마다 'Integration Bee'라는 적분 대회를 개최하는데, 1981년에 처음 대회가 열린 매사추세츠 공과대학교(MIT)가 원조이다. MIT Integration BeeBackground The MIT Integration Bee is a yearly tradition during MIT's Independent Activities Period every January run by MIT Math graduate students. The Bee is open to all MIT students, although most who participate are undergraduates. ..
겨울맞이 적분 챌린지
문제네이버 블로그 (Challenge) Yang의 이상한 적분다음 부정적분을 구하시오.\[\int \frac{x}{1 + e^x} \exp \left( \frac{x}{1 + e^x} \right) \, dx\]발단(발행일 기준) 그제 점심쯤 양준혁 군의 인스타그램(@positive_6hyeok) 스토리를 봤다.매서운 한파 때문에 칩거 중이었는데, 하루를 시작하기 좋은 문제인 것 같아 바로 풀기 시작했다.풀이$e^x = t$로 치환하자. $e^x \, dx = dt$이므로\begin{align*}\int \frac{x}{1 + e^x} \exp \left( \frac{x}{1 + e^x} \right) \, dx& = \int \frac{\ln t}{1+t} \cdot t^{\tfrac{1}{1+t}} ..